Vorlesung Funktionentheorie

Ankündigung

In der klassischen Funktionentheorie betrachten wir holomorphe Funktionen, das sind Funktionen, die auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene definiert sind und dort komplex differenzierbar sind. Im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit ist diese Forderung überraschend stark und hat weitreichende Konsequenzen. So ist eine einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft
komplex differenzierbar und in eine Potenzreihe entwickelbar. Außerdem sind solche Funktionen sehr starr, etwa in dem Sinne, dass die Werte einer komplex differenzierbaren Funktion auf einer Kreisscheibe schon durch ihre Werte auf dem Rand eindeutig festgelegt sind.

In dieser Vorlesung werden wir die Grundlagen der Funktionentheorie erarbeiten. Neben den oben genannten Eigenschaften komplex differenzierbarer Funktionen, die aus der Cauchy-Integralformel hergeleitet werden können, sind dies unter anderem der allgemeine Cauchy-Integralsatz, der Residuensatz sowie der Riemannsche Abbildungssatz.

Die angegebene Literatur ist beispielhaft, die meisten Lehrücher über Funktionentheorie sollten geeignet sein.

Literatur

  • Fischer, Lieb: Funktionentheorie, 9. Aufl., Vieweg + Teubner, 2008.
  • Jänich: Funktionentheorie: Eine Einführung, Springer, 2008.
  • Freitag, Busam: Funktionentheorie 1, Springer, 2006.
  • Remmert, Schumacher: Funktionentheorie 1, Springer, 2002.

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Folgendes Skript wurde freundlicherweise von Herrn T. Rambaum zur Verfügung gestellt. Diese Version des Skripts wurde aber nicht von mir erstellt oder korrigiert. Ich habe auch nicht geprüft in wie weit sich der Inhalt tatsächlich mit der Vorlesung deckt. Kurz: Ich übernehme keinerlei Verantwortung für den Inhalt.

Inhalt der Vorlesung

Datum Inhalt
21.04.2009 Einführung, die komplexe Zahlenebene, Multiplikation, Konjugation, Betragsfunktion.
23.04.2009 Topologie der komplexen Zahlenebene, offene und abgeschlossene Mengen, Konvergenz von Folgen, Zusammenhang, Stetigkeit
28.04.2009 Komplexe und reelle Diffenenzierbarkeit
30.04.2009 Cauchy-Riemann Differerntialgleichungen, Potenzreihen
05.05.2009 Die Riemannsche Zahlensphäre
07.05.2009 Integrale komplexwertiger Funktione, Wegintegrale
12.05.2009 Wegintegrale, Ketten, Stammfunktionen
14.05.2009 Existenz von Integrationswegen in Gebieten, Lemma von Goursat
19.05.2009 Cauchy Integralsatz und Integralformel
26.05.2009 Potenzreihenentwicklung
28.05.2009 Identitätssatz, Cauchysche Ungleichungen, Satz von der Gebietstreue
09.06.2009 Maximum- und Minimumprinzip, ganze Funktionen
16.06.2009 Abbildungsverhalten transzendenter Funktionen, Harmonische Funktionen
18.06.2009 Harmonische Funktionen, Ketten, Ränder, Zykel
23.06.2009 Allgemeiner Cauchy Integralsatz
25.06.2009 Umlaufzahlen
30.06.2009 Laurent-Reihen
01.07.2009 Isolierte Singularitäten
07.07.2009 Meromorphe Funktionen als Abbbildungen der Zahlenkugel
09.07.2009 Residuensatz und funktionentheoretische Anwendungen, Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen bei Nullstellen
14.07.2009 Satz von Rouche, Residuensatz zur Berechnung reeller Integrale
16.07.2009 Residuensatz zur Berechnung reeller Integrale
21.07.2009 Riemannscher Abbildungssatz
23.07.2009 KLAUSUR

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